HDU-5754 Life Winner Bo (博弈论)
2021-02-18 02:18
思路:
很明显这个是一个博弈的题目。他好在有四种棋子,分别对应四种走法,也就是将四个博弈结合在了一起。
将棋盘看作两堆石子,棋子移动取就是两堆石子,谁先取完谁胜利,一堆石子n-1个,一堆m-1个。
将四种博弈分别分析
1、king 国王 向右,向下,或者向右下移动一格,简化成石子问题就是可以在其中一堆取一个(向右、向下)或者在两堆中各取一个(向右下)。最终取到(0,0) 那就很明显了,最终结果是偶偶的,每一次偶偶都只能变成奇偶,偶奇,奇奇,然而这三种都能一次变成偶偶。于是就有答案了,谁面对偶偶的局势谁就输,对方只要保持每次都让他面对偶偶的局势就能保证取走最后的石子。这是对于n-1和m-1,对于n,m就是当n,m都为奇数时第一个人面对必败态,否则第一个人胜利。
2、castle 车 向右,或者向下移动任意格,简化成石子问题就是从某一堆中取出任意个,简单的nim博弈就能解决。同样也可以理解为一开始就保证和终点在一条对角线上,一定是先手赢,所以必胜策略就是先手移动到对角线上——然而如果一开始就是一个正方形,那先手肯定必败了。
3、knight 马 向2*3的矩阵的另一个角移动, Knight的移动方法跟马一样走日字,它比较难处理,因为它有和局的情况(比如某个人一直往右走,导致对面无路可走)使对手无法获得胜利…这样的情况看似麻烦,其实我们也可以用相同的思想分析必胜和必败状态。 我们先区分能分出胜负的局面和平局的局面,通过画图,我们可以发现(2,3)和(3,2)这样的情况是一定先手必胜的,而想(3,3)这种情况就无法达到,更进一步,我们发现(4,4)这种情况是一定必败的,而其他比它小的情况全部是平局。 更进一步,我们发现(5,6)这种情况也是必胜的:我们只需要先手走到(2,3)这个点就可以,在之前,我们知道(4,4)是先手必败,而在这里,我们如果把(2,3)看作起始点,把(5,6)看作终点,其组成的正方形和刚才那种情况一模一样:这说明这就是一种可以区分胜负的局面,从(4,4)开始,(7,7),(10,10)….均为先手必败,然而我们如果可以先手走到这样一种必败的局面,我们即是必胜的——而其余情况,全为和局。 到这里我们就可以写出最终结果了:当终点减去起点的坐标能被3整除的时候,先手必败;对于必胜条件,我们只需要判断(2,3)和(3,2)是否可以达到必败局面就可以了。
4、queen 王后 移动到同一行、列、斜线的任意位置,简化成石子问题就是可以在一堆中去任意个,也可以在两堆中取相同个。经典的威佐夫博弈问题,我们可以直接求解。
代码:
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