【loj - 2251】「ZJOI2017」树状数组
2021-05-13 21:31
标签:二进制 调用 内容 unsigned printf 很多 没有 现在 clu 漆黑的晚上,九条可怜躺在床上辗转反侧。难以入眠的她想起了若干年前她的一次悲惨的 OI 比赛经历。那是一道基础的树状数组题。 给出一个长度为 \(n\) 的数组 \(A\),初始值都为 \(0\),接下来进行 \(m\) 次操作,操作有两种: 尽管那个时候的可怜非常的 simple,但是她还是发现这题可以用树状数组做。当时非常 young 的她写了如下的算法: 其中 \({\rm lowbit}(x)\) 表示数字 \(x\) 最低的非 \(0\) 二进制位,例如 \({\rm lowbit}(5) = 1, {\rm lowbit}(12) = 4\)。进行第一类操作的时候就调用 \({\rm Add}(x)\),第二类操作的时候答案就是 \({\rm Query}(l, r)\)。 如果你对树状数组比较熟悉,不难发现可怜把树状数组写错了:\({\rm Add}\) 和 \({\rm Find}\) 中 \(x\) 变化的方向反了。因此这个程序在最终测试时华丽的爆 0 了。 然而奇怪的是,在当时,这个程序通过了出题人给出的大样例——这也是可怜没有进行对拍的原因。 现在,可怜想要算一下,这个程序回答对每一个询问的概率是多少,这样她就可以再次的感受到自己是一个多么非的人了。然而时间已经过去了很多年,即使是可怜也没有办法完全回忆起当时的大样例。幸运的是,她回忆起了大部分内容,唯一遗忘的是每一次第一类操作的 \(x\) 的值,因此她假定这次操作的 \(x\) 是在 \([l_i, r_i]\) 范围内等概率随机的。 具体来说,可怜给出了一个长度为 \(n\) 的数组 \(A\),初始为 \(0\),接下来进行了 \(m\) 次操作: 原题传送门。 根据正常的树状数组推导可得:当 \(x\leq y\),\({\rm Add}(y)\) 会对 \({\rm Find}(x)\) 产生贡献。 也就是说其实 \({\rm Find}(x)\) 是后缀和。不过这里有个坑:\({\rm Find}(0) = 0\) 恒成立。 当 \(l \not = 1\) 时,等价于询问 \(A_{l-1}= A_r\) 成立的概率。 虽然到这一步可以直接用树套树维护,不过由于我人傻,所以推了个公式: 记 \(p_i\) 表示第 \(i\) 次操作使得等式状态变化的概率。则 \(\prod[p_ix+(1-p_i)]\) 的偶数项之和就是答案。 考虑代入二次单位根,得到答案为 \(\frac{1+\prod(1-2p_i)}{2}\)。然后就是三维数点问题。时间复杂度 \(O(n\log^2 n)\)。 【求大佬解释这个式子是否有组合意义】 l = 1 的答案要特判也太坑了吧。不特判直接暴零。 【loj - 2251】「ZJOI2017」树状数组 标签:二进制 调用 内容 unsigned printf 很多 没有 现在 clu 原文地址:https://www.cnblogs.com/Tiw-Air-OAO/p/13126466.html
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当 \(l = 1\) 时,等价于询问 \(A_r = cnt\) 成立的概率(其中 \(cnt\) 是当前的修改次数)。accepted code
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