带权最短路 Dijkstra, SPFA, Bellman-Ford, ASP, Floyd-Warshall 算法分析

　　图论中，用来求最短路的方法有很多，适用范围和时间复杂度也各不相同。

　　它们的使用限制和运行时间如下：

　　Dijkstra: 不含负权。运行时间依赖于优先队列的实现，如 O((∣V∣+∣E∣)log∣V∣)O((∣V∣+∣E∣)log∣V∣) SPFA: 无限制。运行时间O(k?∣E∣) (k?∣V∣)O(k?∣E∣) (k?∣V∣) Bellman-Ford：无限制。运行时间O(∣V∣?∣E∣)O(∣V∣?∣E∣) ASP: 无圈。运行时间O(∣V∣+∣E∣)O(∣V∣+∣E∣) Floyd-Warshall: 无限制。运行时间O(∣V∣3)

　　其中 1~4 均为单源最短路径 (Single Source Shortest Paths) 算法； 5 为全源最短路径 (All Pairs Shortest Paths) 算法。顺便说一句，为什么没有点对点的最短路径？如果我们只需要一个起点和一个终点，不是比计算一个起点任意终点更节省时间么？答案还真不是，目前还没有发现比算从源点到所有点更快的算法。

　　 图的表示

　　本文中，前四个算法的图都采用邻接表表示法，如下：

　　 struct Edge { int from; int to; int weight; Edge(int f, int t, int w):from(f), to(t), weight(w) {} }; int num_nodes; int num_edges; vector edges; vector G[max_nodes]; // 每个节点出发的边编号 int p[max_nodes]; // 当前节点单源最短路中的上一条边 int d[max_nodes]; // 单源最短路径长 Dijkstra 方法

　　Dijkstra 方法依据其优先队列的实现不同，可以写成几种时间复杂度不同的算法。它是图论－最短路中最经典、常见的算法。关于这个方法，网上有许多分析，但是我最喜欢的还是《算法概论》中的讲解。为了理解 Dijkstra 方法，首先回顾一下无权最短路的算法。无权最短路算法基于 BFS，每次从源点向外扩展一层，并且给扩展到的顶点标明距离，这个距离就是最短路的长。我们完全可以仿照这个思路，把带权图最短路问题规约到无权图最短路问题——只要把长度大于 1 的边填充进一些「虚顶点」即可。如下图所示。

　　这个办法虽然可行，但是显然效率很低。不过，Dijkstra 方法EC,EB,ED分别出发，经过一系列「虚节点」，依次到达D,B,C 。为了不在虚节点处浪费时间，出发之前，我们设定三个闹钟，时间分别为4,3,2提醒我们预计在这些时刻会有重要的事情发生（经过实际节点）。更一般地说，假设现在我们处理到了某个顶点u，和u相邻接的顶点为v1,v2,…,vn，它们和uu的距离为d1,d2,…,dn。我们为v1,v2,…,vn各设定一个闹钟。如果还没有设定闹钟，那么设定为d ；如果设定的时间比d晚，那么重新设定为d（此时我们沿着这条路比之前的某一条路会提前赶到）。每次闹钟响起，都说明可能经过了实际节点，我们都会更新这些信息，直到不存在任何闹钟。综上所述，也就是随着 BFS 的进行，我们一旦发现更近的路径，就立即更新路径长，直到处理完最后（最远）的一个顶点。由此可见，由于上述「虚顶点」并非我们关心的实际顶点，因此 Dijkstra 方法的处理方式为：直接跳过了它们。

　　还需要解决的一个问题，就是闹钟的管理。闹钟一定是从早到晚按顺序响起的，然而我们设闹钟的顺序却不一定按照时间升序，因此需要一个优先队列来管理。Dijkstra 方法实现的效率严重依赖于优先队列的实现。一个使用标准库容器适配器priority_queue的算法版本如下：

　　 typedef pair HeapNode; void Dijkstra(int s) { priority_queue< HeapNode, vector, greater > Q; for (int i=0; i d[u] + e.weight) { d[e.to] = d[u] + e.weight; p[e.to] = G[u][i]; Q.push(make_pair(d[e.to], e.to)); } } } } Bellman-Ford：一个简单的想法

　　Dijkstra 方法的本质是进行一系列如下的更新操作：

　　 d(v)=min{d(v),d(u)+l(u,v)}

　　然而，如果边权含有负值，那么 Dijkstra 方法将不再适用。原因解释如下。

　　假设最终的最短路径为：

　　 s→u1→u2→u3→…→uk→t

　　不难看出，如果按照(s,u1),(u1,u2),…,(uk,t)的顺序执行上述更新操作，最终t的最短路径一定是正确的。而且，只要保证上述更新操作全部按顺序执行即可，并不要求上述更新操作是连续进行的。Dijkstra 算法所运行的更新序列是经过选择的，而选择基于这一假设：s→t的最短路一定不会经过和s距离大于l(s,t)的点。对于正权图这一假设是显然的，对于负权图这一假设是错误的。

　　因此，为了求出负权图的最短路径，我们需要保证一个合理的更新序列。但是，我们并不知道最终的最短路径！因此一个简单的想法就是：更新所有的边，每条边都更新∣V∣?1次。由于多余的更新操作总是无害的，因此算法（几乎）可以正确运行。等等，为什么是∣V∣?1次？这是由于，任何含有∣V∣个顶点的图两个点之间的最短路径最多含有∣V∣?1条边。这意味着最短路不会包含环。理由是，如果是负环，最短路不存在；如果是正环，去掉后变短；如果是零环，去掉后不变。

　　算法实现中唯一一个需要注意的问题就是负值圈(negative-cost cycle)。负值圈指的是，权值总和为负的圈。如果存在这种圈，我们可以在里面滞留任意长而不断减小最短路径长，因此这种情况下最短路径可能是不存在的，可能使程序陷入无限循环。好在，本文介绍的几种算法都可以判断负值圈是否存在。对于 Bellman-Ford 算法来说，判断负值圈存在的方法是：在∣V∣?1次循环之后再执行一次循环，如果还有更新操作发生，则说明存在负值圈。

　　Bellman-Ford 算法的代码如下：

　　 bool Bellman_Ford(int s) { for (int i=0; i d[edges[e].from] + edges[e].weight d[edges[e].from] != __inf) { d[edges[e].to] = d[edges[e].from] + edges[e].weight; p[edges[e].to] = e; changed = true; } } if (!changed) return true; if (i == num_nodes changed) return false; } return false; // 程序应该永远不会执行到这里 }

　　注记：

　　如果某次循环没有更新操作发生，以后也不会有了。我们可以就此结束程序，避免无效的计算。

　　上述程序中第 11 行的判断：如果去掉这个判断，只要图中存在负值圈函数就会返回false。否则，仅在给定源点可以达到负值圈时才返回false。

　　 SPFA：一个改进的想法

　　看来，Bellman-Ford 算法多少有些浪费。这里介绍的 SPFA 可以算作是 Bellman-Ford 的队列改进版。在 Dijkstra 方法中，随着 BFS 的进行，最短路一点一点地「生长」。然而如果存在负权，我们的算法必须允许「绕回去」的情况发生。换句话说，我们需要在某些时候撤销已经形成的最短路。同时，我们还要改变 Bellman-Ford 算法盲目更新的特点，只更新有用的节点。SPFA 中，一开始，我们把源点 s放入队列中，然后每次循环让一个顶点u出队，找出所有与u邻接的顶点v，更新最短路，并当v不在队列里时将它入队。循环直到队列为空（没有需要更新的顶点）。 可以显示出 SPFA 和 Bellman-Ford 算法相比的一个重大改进的最经典的一个例子，就是图为一条链的情形。 容易看出，如果存在负值圈，这个算法将无限循环下去。因此需要一个机制来确保算法得以中止。由于最短路最长只含有∣V∣?1条边，因此如果任何一个顶点已经出队∣V∣+1次，算法停止运行。 SPFA 的代码如下：

　　 bool in_queue[max_nodes]; int cnt[max_nodes]; bool SPFA(int s) { int u; queue Q; memset(in_queue, 0, sizeof(in_queue)); memset(cnt, 0, sizeof(cnt)); for (int i=0; i d[u] + e.weight) { d[e.to] = d[u] + e.weight; p[e.to] = G[u][i]; if (!in_queue[e.to]) { Q.push(e.to); in_queue[e.to] = true; if (++cnt[e.to] > num_nodes) return false; } } } } return true; }

　　我们已经给出 SPFA 的运行时间为O(k?∣E∣)(k?∣V∣)O。实际上，可以期望k<2。但是可以构造出使 SPFA 算法变得很慢的针对性数据。

　　 Acyclic Shortest Path

　　如果图是无圈的（acyclic）（或称为有向无环图，DAG），那么情况就变的容易了。我们可以构造一个拓扑升序序列，由拓扑排序的性质，无圈图的任意路径中，顶点都是沿着「拓扑升序序列」排列的，因此我们只需要按照这个序列执行更新操作即可。显然，这样可以在线性时间内解决问题。

　　实现上，拓扑排序和更新可以一趟完成。这种算法的代码如下：

　　 int indegree[max_nodes]; voidasp(int s) { queue Q; for (int i=0; i d[w] + edges[G[w][i]].weight d[w] != __inf) { d[edges[G[w][i]].to] = d[w] + edges[G[w][i]].weight; p[edges[G[w][i]].to] = G[w][i]; } if (--indegree[edges[G[w][i]].to] == 0) Q.push(edges[G[w][i]].to); } } } Floyd-Warshall Floyd-Warshall

　　与前面四种不同，Floyd-Warshall 算法是所谓的「全源最短路径」，也就是任意两点间的最短路径。它并不是对单源最短路径∣V∣次迭代的一种渐进改进，但是对非常稠密的图却可能更快，因为它的循环更加紧凑。而且，这个算法支持负的权值。

　　Floyd-Warshall 算法如下：

　　 int dist[max_nodes][max_nodes]; // 记录路径长 int path[max_nodes][max_nodes]; // 记录实际路径 bool Floyd_Warshall() { for (int i=0; i dist[i][k] + dist[k][j] dist[i][k] != __inf dist[k][j] != __inf) { dist[i][j] = dist[i][k] + dist[k][j]; path[i][j] = path[i][k]; if (i == j dist[i][j] < 0) return false; } } } } return true; }

　　其中dist数组应初始化为邻接矩阵。需要提醒的是，dist[i][i]实际上表示「从顶点 i 绕一圈再回来的最短路径」，因此图存在负环当且仅当 dist[i][i]<0。初始化时，dist[i][i]可以初始化为0，也可以初始化为∞。

　　 显示实际路径

　　显示实际路径实际上非常简单。利用前四个算法提供的int *p，还原实际路径的一个方法如下：

　　 void printpath(int from, int to, bool firstcall = true) { if (from == to) { printf("%d", from); return; } if (p[to] == -1) return; if (firstcall) printf("%d ->", from); int v = edges[p[to]].from; if (v == from) { if (firstcall) printf(" %d", to); return; } printpath(from, v, false); printf(" %d ->", v+1); if (firstcall) printf(" %d", to); }

　　利用 Floyd-Warshall 算法提供的int **path，还原实际路径的一个方法如下：

　　 void showpath(int from, int to) { int c = from; printf("%d -> %d:(%2d) %d", from, to, dist[from][to], from); while (c != to) { printf(" -> %d", path[c][to]); c = path[c][to]; } printf("\n"); }