Luogu P3374 【模板】树状数组 1

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思路

树状数组，顾名思义，就是要把一个数组的存储形式抽象成一棵树的形式，来高效地完成一些在数组中的操作。那么树状数组的原理是什么呢？我们可以尝试将数组下标（假设从1开始编号）转化成二进

制数，则1,2,3,4,5,6,7,8分别对应着二进制的1,10,11,100,101,110,111,1000。然后我们可以艰难地发现一个有趣的性质，那就是如果我们把一个二进制数的第一个1和这个1后面的0一起提取出来，

再将这个数加上提取出来的这个数，又可以得到一个新的数。例如6的二进制是110，我们把它的第一个1和后面的0提取出来为10，对应十进制为2，6+2等于8，我们就得到了8这个数，也就可以完成一次

更新。利用这个性质，我们可以画出这样的一幅图（图采集自百度百科）：

由此我们可以总结出：

C1=A1

C2=A1=A2

C3=A3

C4=A1+A2+A3+A4

C5=A5

C6=A5+A6

C7=A7

C8=A1+A2+A3+A4+A5+A6+A7+A8

C1=A1

C2=C1+A2

C3=A3

C4=C2+C3+A4

C5=A5

C6=C5+A6

C7=A7

C8=C4+C6+C8+A8

那么，我们该如何实现C数组的各个元素之间的相互关联呢？这时我们的lowbit就横空出世出现了。

在前面的介绍中讲到，我们将数组下标转化为二进制之后将二进制数的第一个1及其后面的0给揪出来，再把这个数加上这个被揪出来的二进制数，就可以完成图中的转化。那么我们怎么计算第一个1的位置呢？
现在举一个例子。比如说6这个数，它的二进制为110，那么它的原码（一个整数按照绝对值大小转换成的二进制数，是为原码。）就是在它的二进制前面补上6个0，即为000000110，它的反码就是将它

的原码取反，即为111111001。然后将反码加1，得到补码（反码加1叫做补码），即为111111010，而补码就是负数在计算机中的表示形式。然后我们将000000110和111111010这两个数做按位与

（在C++中表示为“&”，在对两个二进制数做按位与运算时，结果为这两个二进制数的每一位取最小值）运算，就可以得到6在二进制下的第一个1和它后面的0所表示的数为10，即为2。6+2=8，就完成了

从6到8的更新。这也就是lowbit的计算方法： x&(-x)。

有了lowbit之后，我们就可以轻松地完成树状数组的更新和查询。树状数组模板1要求我们完成的是单点修改和区间查询。对于单点修改，我们不仅仅要更改他所需要改的那个点，还需要同时更新树状

数组中与他关联的所有点。这就需要用lowbit来遍历每一个更改改点后所影响的点，并进行更新。对于区间查询，我们要利用差分的思想，若查询区间l到r中每个数的和,那么我们就可以查询从1—r的

和（记为u）从1—l-1的和（记为v），则u-v即为l—r区间内每个数的和。之所以这样做，是因为树状数组的特性导致只能用树状数组求1—x的和。而不能直接求任意一个区间的和。求1—x的和与单点修

改类似，我们从x开始，每次累加答案，并将x-=lowbit（x），就可以求出1-x这个区间内每个数的和了。

Code

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Luogu P3374 【模板】树状数组 1

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