【算法】背包问题
2021-03-22 16:27
标签：方法 哪些 动态规划 print 完全 不能 system out static 最近面试遇到一道题，一个人的精力是V，有N款游戏，每款游戏的所消耗的经历为对应的C[i],获得的满足感为M[i]。求玩哪几款游戏获得的满足感最高。当时一下没想出来，后来一想，这不就是背包问题吗？ 所以这里整理一下背包问题的算法。 ------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------ 问题描述： 一、0-1背包 a)求解背包所含物品的最大值： 利用动态规划求最优值的方法。假设用dp[N][V]来存储中间状态值,dp[i][j]表示前i件物品能装入容量为j的背包中的物品价值总和的最大值(注意是最大值),则我们最终只需求知dp[i=N][j=V]的值，即为题目所求。 b)求出背包中装入物品的编号 这里我们采用逆推的思路来处理，如果对于dp[i][j]>dp[i-1][j]，则说明第i个物品肯定被放入了背包，此时我们再考察dp[i-1][j-weight[i]]的编号就可以了。 0-1背包的优化解法： 例子：假设现有容量10kg的背包，另外有3个物品，分别为a1，a2，a3。物品a1重量为3kg，价值为4；物品a2重量为4kg，价值为5；物品a3重量为5kg，价值为6。将哪些物品放入背包可使得背包中的总价值最大？ 过程： 二、多重背包 三、完全背包 转自https://blog.csdn.net/lanyu_01/article/details/79815801 https://blog.csdn.net/u010947534/article/details/88963391 【算法】背包问题 标签：方法 哪些 动态规划 print 完全 不能 system out static 原文地址：https://www.cnblogs.com/KeleLLXin/p/13870367.html
一个背包的总容量为V,现在有N类物品,第i类物品的重量为weight[i],价值为value[i]
那么往该背包里装东西,怎样装才能使得最终包内物品的总价值最大。这里装物品主要由三种装法：
1、0-1背包：每类物品最多只能装一次
2、多重背包：每类物品都有个数限制，第i类物品最多可以装num[i]次
3、完全背包：每类物品可以无限次装进包内
思路分析：
0-1背包问题主要涉及到两个问题的求解
现在考虑动态规划数组dp[i][j]的状态转移方程：
假设我们已经求出前i-1件物品装入容量j的背包的价值总和最大值为dp[i-1][j],固定容量j的值不变，则对第i件物品的装法讨论如下：
首先第i件物品的重量weight[i]必须小于等于容量j才行，即
1、若weight[i]>j,则第i件物品肯定不能装入容量为j的背包，此时dp[i][j]=dp[i-1][j]
2、若weight[i]
dp[i][j]=dp[i-1][j-weight[i]]+value[i]
随之而来的问题是我们要判断第i件物品装到容量为j的背包后,背包内的总价值是否是最大？其实很好判断，即如果装了第i件物品后的总价值dp[i-1][j-weight[i]]+value[i]>没装之前的总价值最大值dp[i-1][j]，则肯是最大的；反之则说明第i件物品不必装入容量为j的背包(装了之后总价值反而变小，那么肯定就不需要装嘛)
故，状态转移方程如下：
dp[i][j] = (dp[i-1][j] > (dp[i-1][j-weight[i]]+value[i]))? dp[i-1][j]:(dp[i-1][j-weight[i]]+value[i])
注意：这里的前i件物品是给定次序的/**
* 0-1背包问题
* @param V 背包容量
* @param N 物品种类
* @param weight 物品重量
* @param value 物品价值
* @return
*/
public static String ZeroOnePack(int V,int N,int[] weight,int[] value){
//初始化动态规划数组
int[][] dp = new int[N+1][V+1];
//为了便于理解,将dp[i][0]和dp[0][j]均置为0，从1开始计算
for(int i=1;i
/**
* 0-1背包的优化解法
* 思路：
* 只用一个一维数组记录状态，dp[i]表示容量为i的背包所能装入物品的最大价值
* 用逆序来实现
*/
public static int ZeroOnePack2(int V,int N,int[] weight,int[] value){
//动态规划
int[] dp = new int[V+1];
for(int i=1;i
public class BackPack {
public static void main(String[] args) {
int m = 10;
int n = 3;
int w[] = {3, 4, 5};
int p[] = {4, 5, 6};
int c[][] = BackPack_Solution(m, n, w, p);
for (int i = 1; i ) {
for (int j = 1; j ) {
System.out.print(c[i][j]+"\t");
if(j==m){
System.out.println();
}
}
}
//printPack(c, w, m, n);
}
/**
* @param m 表示背包的最大容量
* @param n 表示商品个数
* @param w 表示商品重量数组
* @param p 表示商品价值数组
*/
public static int[][] BackPack_Solution(int m, int n, int[] w, int[] p) {
//c[i][v]表示前i件物品恰放入一个重量为m的背包可以获得的最大价值
int c[][] = new int[n + 1][m + 1];
for (int i = 0; i )
c[i][0] = 0;
for (int j = 0; j )
c[0][j] = 0;
for (int i = 1; i ) {
for (int j = 1; j ) {
//当物品为i件重量为j时，如果第i件的重量(w[i-1])小于重量j时，c[i][j]为下列两种情况之一：
//(1)物品i不放入背包中，所以c[i][j]为c[i-1][j]的值
//(2)物品i放入背包中，则背包剩余重量为j-w[i-1],所以c[i][j]为c[i-1][j-w[i-1]]的值加上当前物品i的价值
if (w[i - 1] j) {
if (c[i - 1][j] ]))
c[i][j] = c[i - 1][j - w[i - 1]] + p[i - 1];
else
c[i][j] = c[i - 1][j];
} else
c[i][j] = c[i - 1][j];
}
}
return c;
}
//输出结果
0 4 4 4 4 4 4 4 4
0 4 5 5 5 9 9 9 9
0 4 5 6 6 9 10 11 11
/**
* 第三类背包：多重背包
*
* @param args
*/
public static int manyPack(int V,int N,int[] weight,int[] value,int[] num){
//初始化动态规划数组
int[][] dp = new int[N+1][V+1];
//为了便于理解,将dp[i][0]和dp[0][j]均置为0，从1开始计算
for(int i=1;i
/**
* 第二类背包：完全背包
* 思路分析：
* 01背包问题是在前一个子问题（i-1种物品）的基础上来解决当前问题（i种物品），
* 向i-1种物品时的背包添加第i种物品；而完全背包问题是在解决当前问题（i种物品）
* 向i种物品时的背包添加第i种物品。
* 推公式计算时，f[i][y] = max{f[i-1][y], (f[i][y-weight[i]]+value[i])}，
* 注意这里当考虑放入一个物品 i 时应当考虑还可能继续放入 i，
* 因此这里是f[i][y-weight[i]]+value[i], 而不是f[i-1][y-weight[i]]+value[i]。
* @param V
* @param N
* @param weight
* @param value
* @return
*/
public static String completePack(int V,int N,int[] weight,int[] value){
//初始化动态规划数组
int[][] dp = new int[N+1][V+1];
//为了便于理解,将dp[i][0]和dp[0][j]均置为0，从1开始计算
for(int i=1;i
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