线性方程组的迭代求解算法——原理

2020-12-13 02:47

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迭代法的一般形式（对于Ax=b的一般形式）
- 迭代格式
- G称为迭代算子
- 由迭代格式得到迭代序列
- 如迭代序列收敛于方程组的精确解，则称此迭代格式收敛
- 迭代格式的构造；将方程组改写成如下形式，如令A=B-C
Jacobi迭代：
- 算法实现：线性方程组迭代求解——Jacobi迭代算法（Python实现）
- 令A=D-L-U
- Jacobi迭代格式
- Jacobi迭代矩阵：
Gauss-Seidel迭代
- Gauss-Seidel迭代格式
- Gauss-Seidel迭代矩阵
迭代算法的收敛性
- 迭代格式的收敛性：
  - 迭代格式对任意初始量都收敛的充要条件是（也就是M的谱半径小于1）
  - 如果A是绝对行（列）对角占优，则Jacobi迭代格式、Gauss-Seidel迭代格式都收敛
  - 如果A是实对称矩阵，则Gauss-Seidel迭代格式收敛
- 迭代格式的收敛速度：取决于M的谱半径大小，M的谱半径越小，收敛速度越快。
- 迭代格式的误差估计：